問66
頻出度★★☆
2進数に変換したとき，有限小数で表現できる10進数はどれか。
平成24年度 秋期 ITパスポート試験 問66
テクノロジ系基礎理論 › 離散数学
这道题的解析和你的作答记录。
解説
問 66
错误ア
0.1 化为最简分数是 1/10 = 1/(2×5)，分母中残留着 2 以外的质因数 5，因此在二进制中不是有限小数。用逐次乘 2 法转换：0.1×2=0.2（整数部分 0）、0.2×2=0.4（0）、0.4×2=0.8（0）、0.8×2=1.6（1）、0.6×2=1.2（1），小数部分又回到 0.2，此后便是同样计算的反复，于是成为 0.0001100110011…，即 0011 无限重复的循环小数。另外，计算机之所以无法用二进制浮点数精确表示十进制的 0.1 而产生误差，原因正是这一性质。
错误イ
0.2 化为最简分数是 1/5，分母不是 2 的幂而是 5，因此在二进制中不是有限小数。用逐次乘 2 法：0.2×2=0.4（整数部分 0）、0.4×2=0.8（0）、0.8×2=1.6（1）、0.6×2=1.2（1），进行到这里小数部分又回到最初的 0.2，于是成为 0.001100110011… 这样 0011 循环的无限小数。需要注意的是，即便在十进制中看起来是小数点后一位就结束的“整齐”的数，一旦基数换成 2，也未必能用有限位表示。
错误ウ
0.4 化为最简分数是 2/5，分母中残留着 5，因此在二进制中不是有限小数。用逐次乘 2 法：0.4×2=0.8（整数部分 0）、0.8×2=1.6（1）、0.6×2=1.2（1）、0.2×2=0.4（0），小数部分回到最初的 0.4，于是成为 0.011001100110… 这样的循环。也可以这样想：0.4 是 0.2 的 2 倍，也就是在二进制中只是把 0.2 的数位排列向左移了一位的值，所以只要 0.2 是循环的，0.4 就必然也是循环的。
- エ
正解 正确答案是 エ“0.5”。一个十进制小数转换成二进制后能否成为有限小数（在有限位上结束的小数），取决于把该值化为最简分数后的分母。二进制小数点后第 n 位表示 2 的 -n 次方（0.1 表示 1/2，0.01 表示 1/4，0.001 表示 1/8……），所以凡是能用有限位写出的数，必定是“整数 ÷ 2 的 n 次方”这种形式。反过来说，只有当最简分数的分母是 2 的幂（2、4、8、16……）时，在二进制中才是有限小数；如果分母中残留着 5 等 2 以外的质因数，就必然成为循环小数。0.5 化为最简分数是 1/2，分母正好是 2 的 1 次方，因此在二进制中只用 0.1 这一位就能表示，这就是有限小数。用实际的转换步骤（把小数部分乘以 2，从高位起依次取出整数部分的逐次乘 2 法）来验证也一样：0.5×2=1.0，整数部分立起 1，小数部分在这一步变为 0，计算随即结束。因此，各选项中转换为二进制数时能用有限小数表示的十进制数是 エ。
ここがポイント
- 在二进制中成为有限小数的条件 — 把十进制小数化为最简分数后，只有分母是 2 的幂（2、4、8、16……）的数，在二进制中才是有限小数。分母中残留 5 等 2 以外质因数的 0.1、0.2、0.3、0.4 等，在二进制中全都是循环小数；只有像 0.5、0.25、0.75、0.125 这样能写成 1/2 各次幂之和的值，才能用有限位表示。
- 十进制小数→二进制小数的基数转换（逐次乘 2 法）— 把小数部分乘以 2，将其整数部分（0 或 1）从小数点后第一位起依次写出，再对剩下的小数部分重复同样的操作。小数部分变为 0，就作为有限小数转换完成；如果同一个小数部分再次出现，从那里开始便是循环小数。还应一并记住，这种误差正是浮点运算中舍入误差的原因。
用語