問82
頻出度★★☆
排他的論理和を表す論理式はどれか。ここで，論理変数AとBに対する排他的論理和の真理値表は次のように表される。また，ANDは論理積，ORは論理和，NOTは否定を表す。
| A | B | 排他的論理和 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
平成25年度 春期 ITパスポート試験 問82
テクノロジ系基礎理論 › 離散数学
这道题的解析和你的作答记录。
解説
問 82
错误ア
(A OR B) AND (A OR (NOT B)) 用分配律提取公因子后变成 A OR (B AND (NOT B))。B AND (NOT B) 恒为 0，所以这个表达式最终与 A 相同，也就是完全不参照 B 的值的表达式。用真值表验证：A=0、B=0 时为 0（表中也是 0，一致）；A=0、B=1 时为 0（表中是 1，不一致）；A=1、B=0 时为 1；A=1、B=1 时为 1（表中是 0，不一致），4 行中有 2 行与表不符。异或是对等地处理 A 与 B 的运算，因此其中一个变量被消掉的表达式不可能成为候选。
- イ
正解 正确答案是イ“(A OR B) AND ((NOT A) OR (NOT B))”。真值表所示的异或（XOR）是当 A 与 B 不同时、也就是“恰好只有一方为 1”时才为 1 的运算。这个条件可以分解为两个条件同时成立。第一个是“至少有一方为 1”，即 A OR B。第二个是“并非两者都为 1”，即 NOT(A AND B)，根据德摩根定律可以写成 (NOT A) OR (NOT B)。把这两者用逻辑与连接起来得到的 (A OR B) AND ((NOT A) OR (NOT B))，表示“至少有一方为 1，并且并非两者都为 1”＝恰好只有一方为 1，也就是异或。实际把真值表的 4 行全部代入验证：A=0、B=0 时 (0 OR 0)=0，所以整体为 0；A=0、B=1 时 (0 OR 1)=1 且 ((NOT 0) OR (NOT 1))=(1 OR 0)=1，所以整体为 1；A=1、B=0 时 (1 OR 0)=1 且 ((NOT 1) OR (NOT 0))=(0 OR 1)=1，所以整体为 1；A=1、B=1 时 (1 OR 1)=1，但 ((NOT 1) OR (NOT 1))=(0 OR 0)=0，所以整体为 0。结果为 0、1、1、0，与表中异或那一列完全一致。
错误ウ
((NOT A) OR B) AND (A OR (NOT B)) 的前半部分表示“如果 A 为 1，那么 B 也为 1”，后半部分表示“如果 B 为 1，那么 A 也为 1”，所以整体是当 A 与 B 相等时为 1 的表达式，也就是一致（异或的否定，XNOR）。代入验证：A=0、B=0 时是 1 AND 1 = 1（表中是 0）；A=0、B=1 时是 1 AND 0 = 0（表中是 1）；A=1、B=0 时是 0 AND 1 = 0（表中是 1）；A=1、B=1 时是 1 AND 1 = 1（表中是 0），4 行全部与表中的值正好相反。它的含义与正确答案恰好相反，是最容易混淆的错误选项。
错误エ
((NOT A) OR B) AND ((NOT A) OR (NOT B)) 用分配律提取公因子后变成 (NOT A) OR (B AND (NOT B))，由于 B AND (NOT B) 恒为 0，最终与 NOT A 是同一个表达式。与ア一样，B 不影响结果。代入验证：A=0、B=0 时为 1（表中是 0，不一致）；A=0、B=1 时为 1（表中也是 1，一致）；A=1、B=0 时为 0（表中是 1，不一致）；A=1、B=1 时为 0（表中也是 0，一致），4 行中有 2 行与表不符。
ここがポイント
- 异或（XOR）的定义与真值表：只有当 A 与 B 不同时才为 1、相同时为 0 的运算。用三种基本运算改写就是 (A OR B) AND NOT(A AND B)，再用德摩根定律 NOT(A AND B) = (NOT A) OR (NOT B)，就得到 (A OR B) AND ((NOT A) OR (NOT B)) 这样的形式。先用日常语言把它换成“至少有一方为 1”并且“并非两者都为 1”，然后再改写成表达式，是最稳妥的解题方法。
- 检验各选项正误时，把 A 与 B 的 4 种组合（0、0／0、1／1、0／1、1）全部代入并与表对照是最可靠的做法。此外，如果知道 X AND (NOT X) 恒为 0、X OR (NOT X) 恒为 1，以及分配律 (X OR Y) AND (X OR Z) = X OR (Y AND Z)，就能当场看出像ア和エ那样其中一个变量被消掉、只剩下 A 或 NOT A 的表达式，从而大幅省去计算。
用語