問70
頻出度★★☆
0から1までの一様乱数からXとYを取り出すことを600回繰り返す。このときY＜Xを満たす回数の期待値は幾らか。
平成21年度 秋期 ITパスポート試験 問70
テクノロジ系基礎理論 › 応用数学
この問題の解説と、これまでの解答の記録です。
解説
問 70
不正解ア
150 は 600 × 1/4 の値です。1/4 は「X と Y の両方がある条件を同時に満たす」ような場合の確率であって、Y＜X となる確率ではありません。Y＜X の確率は対称性から 1/2 なので、150 は少なすぎます。
不正解イ
200 は 600 × 1/3 の値です。「Y＜X」「X＜Y」「X=Y」の 3 つの場合が等しく 1/3 ずつ起こると誤って考えると出てきますが、連続的な一様乱数では X=Y となる確率は 0 なので、この 3 等分の考え方は成り立ちません。
- ウ
正解 X と Y はどちらも 0 から 1 までの一様乱数で、互いに独立に取り出されます。X と Y の役割は完全に対等 (対称) なので、「Y が X より小さくなる確率」と「X が Y より小さくなる確率」は等しくなります。また一様乱数は連続的な値をとるため、X と Y がぴったり同じ値になる確率は 0 とみなせます。よって 1 回の試行で Y＜X となる確率はちょうど 1/2 です。これを 600 回繰り返したときに条件を満たす回数の期待値は、確率 × 試行回数 で求められ、600 × 1/2 = 300 回となります。したがって正解はウの 300 です。
不正解エ
400 は 600 × 2/3 の値です。Y＜X の確率を 1/2 より大きいと見積もったことになりますが、X と Y は同じ分布から独立に取り出されており大小関係に偏りはないため、確率が 1/2 を超えることはありません。
ここがポイント
- 同じ分布から独立に取り出した 2 つの連続値 X・Y では、対称性より P(Y＜X)=P(X＜Y)=1/2 (等しくなる確率は 0 とみなす)。
- ある事象が確率 p で起こる試行を n 回繰り返したとき、その事象が起こる回数の期待値は n × p で求められる。
用語