問70
頻出度★★☆
0から1までの一様乱数からXとYを取り出すことを600回繰り返す。このときY＜Xを満たす回数の期待値は幾らか。
平成21年度 秋期 ITパスポート試験 問70
テクノロジ系基礎理論 › 応用数学
这道题的解析和你的作答记录。
解説
問 70
错误ア
150 是 600 × 1/4 的值。1/4 是「X 和 Y 同时满足某个条件」这类情况的概率，而不是 Y＜X 的概率。由对称性可知 Y＜X 的概率为 1/2，所以 150 太小了。
错误イ
200 是 600 × 1/3 的值。如果错误地认为「Y＜X」「X＜Y」「X=Y」这三种情况各以 1/3 的概率等可能地发生，就会得到这个数值；但对于连续的均匀随机数，X=Y 的概率为 0，所以这种三等分的想法不成立。
- ウ
正解 X 和 Y 都是 0 到 1 之间的均匀随机数，并且是相互独立地取出的。X 和 Y 的地位完全对等（对称），所以「Y 小于 X 的概率」与「X 小于 Y 的概率」相等。另外，均匀随机数取连续值，因此 X 与 Y 恰好相等的概率可以视为 0。于是一次试验中满足 Y＜X 的概率正好是 1/2。重复 600 次时满足条件的次数的期望值，可由「概率 × 试验次数」求出，即 600 × 1/2 = 300 次。因此正确答案是ウ的 300。
错误エ
400 是 600 × 2/3 的值。这相当于把 Y＜X 的概率估计为大于 1/2；但 X 和 Y 是从同一分布中独立取出的，大小关系没有偏向，因此该概率不可能超过 1/2。
ここがポイント
- 对于从同一分布中独立取出的两个连续值 X 和 Y，由对称性可得 P(Y＜X)=P(X＜Y)=1/2（两者相等的概率视为 0）。
- 当把某事件以概率 p 发生的试验重复 n 次时，该事件发生次数的期望值可由 n × p 求出。
用語