問80
頻出度★★☆
横軸を点数（0 ～ 10 点）とし，縦軸を人数とする度数分布のグラフが，次の黒い棒グラフになった場合と，グレーの棒グラフになった場合を考える。二つの棒グラフを比較して言えることはどれか。
| 点数（点） | 黒い棒グラフ（人数） | グレーの棒グラフ（人数） |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 0 |
| 3 | 3 | 2 |
| 4 | 4 | 5 |
| 5 | 5 | 11 |
| 6 | 4 | 5 |
| 7 | 3 | 2 |
| 8 | 2 | 0 |
| 9 | 1 | 0 |
| 10 | 0 | 0 |
平成21年度 春期 ITパスポート試験 問80
テクノロジ系基礎理論 › 応用数学
この問題の解説と、これまでの解答の記録です。
解説
問 80
不正解ア
大小関係が逆である。グレーは5点付近に集中した幅の狭い分布（分散 1.04）で、1点から9点まで広がる黒（分散 4）より散らばりは小さい。棒の高さが11人と目立つことを「ばらつきが大きい」と取り違えた誤りで、分散を決めるのは棒の高さではなく横軸方向の広がりである。
- イ
正解 分散は「各データが平均からどれだけ散らばっているか」を表す指標で、各データと平均の差を2乗した値の平均として求める。二つのグラフは人数の合計がどちらも25人で、どちらも5点を中心に左右対称なので平均はともに5点である。ここで分布の広がりを比べると、黒は1点から9点まで9段階にわたってなだらかに広がっているのに対し、グレーは3点から7点の5段階に収まり、しかも5点だけで11人と中央に強く集中している。つまりグレーの方が平均（5点）から離れたデータが少なく、散らばりが小さい。実際に計算すると、黒の分散は (1×16 + 2×9 + 3×4 + 4×1 + 5×0 + 4×1 + 3×4 + 2×9 + 1×16) ÷ 25 = 100 ÷ 25 = 4、グレーの分散は (2×4 + 5×1 + 11×0 + 5×1 + 2×4) ÷ 25 = 26 ÷ 25 = 1.04 となり、グレー（1.04）＜ 黒（4）。したがって「分散はグレーの棒グラフが、黒の棒グラフより小さい」とする イ が正しい。
不正解ウ
平均はどちらも5点で等しいが、分散まで等しいわけではない。黒は1点から9点の広い範囲に人数が散らばり、グレーは3点から7点の狭い範囲に収まる。計算しても黒が 4、グレーが 1.04 で明確に異なるため、等しいとはいえない。
不正解エ
度数分布のグラフからは各点数の人数（度数）がそのまま読み取れるので、平均も分散も計算できる。実際に上のとおり両方の分散を数値で求められるため、「このグラフだけでは比較できない」というのは誤りである。
ここがポイント
- 分散とは、各データと平均の差を2乗した値の平均であり、値が大きいほどデータが平均から散らばっていることを表す。平均が同じでも分散は異なりうるので、平均と分散は別々に確認する。
- 度数分布のグラフでは、山が中央に高く尖って幅が狭いほど分散は小さく、左右に広く裾を引くほど分散は大きい。判断材料は棒の高さそのものではなく、横軸方向にどれだけ広がっているかである。
用語