問82
頻出度★★☆
a, b, c, d, e, f の6文字すべてを任意の順で一列に並べたとき, a と b が両端になる場合は, 何通りか。
平成22年度 秋期 ITパスポート試験 問82
テクノロジ系基礎理論 › 応用数学
この問題の解説と、これまでの解答の記録です。
解説
問 82
不正解ア
24 は中央4席の並べ方 4! = 24 だけを数えた値で、両端の a と b を入れ替える2通りを掛け忘れている。両端は「a と b が入る」と指定されているだけで、どちらが左端かは決まっていないため、必ず 2 倍する必要がある。24 が答えになるのは「a が左端 (かつ b が右端)」のように左右まで固定された場合であり、本問の条件とは異なる。
不正解イ
30 は 6P2 = 6×5 = 30、つまり6文字の中から両端に置く2文字を順番付きで選ぶ選び方の数である。本問では両端に入る文字は a と b と最初から指定されているので、6文字から選ぶ計算自体が誤り。さらに中央4席の並べ方 4! = 24 を全く考慮していない点でも不足している。
- ウ
正解 正解は ウ (48通り)。位置が指定されている要素から先に決めるのが場合の数の定石である。まず両端 (左端と右端) に入るのは a と b と決まっているので、その入り方は「左端 a・右端 b」と「左端 b・右端 a」の2通り。次に残った中央の4席には、残りの文字 c, d, e, f の4文字を並べるので 4! = 4×3×2×1 = 24 通り。両端の決め方と中央の決め方は独立なので、積の法則により 2 × 24 = 48 通りとなる。検算として、全順列 6! = 720 通りのうち両端が a と b になる確率は (2/6)×(1/5) = 1/15 だから 720 × 1/15 = 48 通りとなり一致する。
不正解エ
360 は 6P4 = 6×5×4×3 = 360、すなわち中央4席に6文字すべてを候補として並べたときの数である。両端で使った a と b を中央の候補から取り除き忘れた誤りで、正しくは残り4文字だけを並べるので 4! = 24 としなければならない。なお 360 は全順列 720 のちょうど半分でもあり、「両端に a と b」ではなく「a が b より左にある」という別の条件を数えてしまった場合にも現れる値なので、条件の読み違いにも注意したい。
ここがポイント
- 場合の数は「位置や役割が指定されている要素を先に確定し、残りを順列で数えて掛け合わせる」のが基本。本問は 両端 2通り × 中央 4! = 24通り = 48通り という積の法則の典型例である。
- 順列 nPr は「使った要素を候補から取り除きながら並べる」計算である。両端に a と b を使ったら中央の候補は残り4文字であり、6文字のまま数えた 6P4 = 360 は二重使用を許した誤答になる。
用語