問82
頻出度★★☆
a, b, c, d, e, f の6文字すべてを任意の順で一列に並べたとき, a と b が両端になる場合は, 何通りか。
平成22年度 秋期 ITパスポート試験 問82
テクノロジ系基礎理論 › 応用数学
这道题的解析和你的作答记录。
解説
問 82
错误ア
24 只数了中间 4 个位置的排列 4! = 24，漏乘了两端的 a 与 b 互换这 2 种情况。题目只指定了两端「放入 a 和 b」，并没有规定哪一个在左端，因此必须再乘以 2。只有像「a 在左端 (且 b 在右端)」这样连左右都固定下来时答案才是 24，这与本题的条件不同。
错误イ
30 是 6P2 = 6×5 = 30，即从 6 个字母中有顺序地选出放在两端的 2 个字母的选法数。本题一开始就指定了两端放的是 a 和 b，因此从 6 个字母中挑选这一计算本身就是错的。而且它完全没有考虑中间 4 个位置的排列 4! = 24，在这一点上也有欠缺。
- ウ
正解 正确答案是 ウ (48 种)。计数问题的常规解法是先确定位置已被指定的元素。首先，两端 (最左端和最右端) 放的是 a 和 b，这一点已经确定，所以放法有「最左端 a、最右端 b」和「最左端 b、最右端 a」两种。接下来，中间剩下的 4 个位置要排列剩余的 c、d、e、f 这 4 个字母，因此有 4! = 4×3×2×1 = 24 种。两端的排法与中间的排法互相独立，根据乘法法则得 2 × 24 = 48 种。验算：全排列 6! = 720 种中，两端为 a 与 b 的概率是 (2/6)×(1/5) = 1/15，所以 720 × 1/15 = 48 种，结果一致。
错误エ
360 是 6P4 = 6×5×4×3 = 360，即把 6 个字母全部作为候选排入中间 4 个位置时的种数。这是忘了把已用于两端的 a 和 b 从中间的候选中去掉而产生的错误，正确做法是只排列剩下的 4 个字母，即 4! = 24。另外，360 恰好是全排列 720 的一半，如果数的不是「两端为 a 和 b」而是「a 在 b 的左边」这另一个条件，也会得到这个值，所以还要注意不要读错条件。
ここがポイント
- 计数问题的基本思路是「先确定位置或角色已被指定的元素，再把剩下的部分按排列来数，然后相乘」。本题正是 两端 2 种 × 中间 4! = 24 种 = 48 种 这一乘法法则的典型例子。
- 排列 nPr 是「一边把已使用的元素从候选中去掉一边排列」的计算。两端用掉 a 和 b 之后，中间的候选就只剩 4 个字母；仍按 6 个字母来数得到的 6P4 = 360，是允许同一元素被重复使用的错误答案。
用語