問69
頻出度★★☆
二つの集合 A と B について，常に成立する関係を記述したものはどれか。ここで，(X∩Y) は，X と Y の共通部分（積集合），(X∪Y) は，X 又は Y の少なくとも一方に属する部分（和集合）を表す。
平成22年度 春期 ITパスポート試験 問69
テクノロジ系基礎理論 › 離散数学
この問題の解説と、これまでの解答の記録です。
解説
問 69
不正解ア
「A でない集合」= A の補集合には、A に属さない要素しか入らない。一方 (A∩B) の要素はすべて A に属する要素なので、両者は共通要素をもたない。例えば A={1,2}，B={2,3} なら (A∩B)={2} で、2 は A の要素だから A の補集合には含まれず、部分集合関係は成り立たない。(A∩B) が空集合になるときだけ偶然成り立つにすぎず、「常に成立する」とは言えない。
- イ
正解 正解は イ の「(A∩B) は，A の部分集合である」。積集合 (A∩B) は設問の定義どおり「A と B の共通部分」、つまり A にも B にも同時に属する要素だけを集めた集合である。その要素は例外なく A の要素でもあるから、(A∩B) の要素はすべて A に含まれる。これが部分集合の定義そのものなので、(A∩B) ⊆ A は A と B の中身によらず常に成立する。ベン図で見ると、A の円と B の円が重なった部分は必ず A の円の内側に描かれることに対応する。なお A と B に共通要素が無い場合は (A∩B) が空集合になるが、空集合はどんな集合の部分集合でもあるため、この場合も関係は成り立つ。同じ理由で (A∩B) ⊆ B も常に成立する。
不正解ウ
包含関係が逆である。和集合 (A∪B) は A か B の少なくとも一方に属する要素をすべて集めた最も大きい範囲、積集合 (A∩B) は両方に属する要素だけの最も狭い範囲なので、常に成り立つのは (A∩B) ⊆ (A∪B) のほうである。A={1,2}，B={2,3} なら (A∪B)={1,2,3}，(A∩B)={2} で、1 や 3 が (A∩B) に入っていないため不成立。A と B が完全に一致する特殊な場合にしか成立しない。
不正解エ
(A∪B) には B だけに属する要素も含まれるため、それが A の外にあれば A の部分集合にはならない。A={1,2}，B={2,3} なら (A∪B)={1,2,3} で、3 は A に属さないので不成立。これが成り立つのは B が A の部分集合である場合に限られ、任意の A と B について常に成立する関係ではない。
ここがポイント
- 積集合 (A∩B) は「A にも B にも属する」要素の集まりで最も狭い範囲、和集合 (A∪B) は「A か B の少なくとも一方に属する」要素の集まりで最も広い範囲。常に成り立つ包含関係は (A∩B) ⊆ A ⊆ (A∪B)、および (A∩B) ⊆ B ⊆ (A∪B) の 2 系統である。
- 「常に成立するか」を問われたら、ベン図を描くか A={1,2}，B={2,3} のような重なりが一部だけある具体例を当てはめて反例を探すのが確実。特定の条件 (A と B が一致する、片方がもう一方に含まれる、共通部分が空) のときだけ成り立つ選択肢は誤りと判断する。
用語