問69
頻出度★★☆
二つの集合 A と B について，常に成立する関係を記述したものはどれか。ここで，(X∩Y) は，X と Y の共通部分（積集合），(X∪Y) は，X 又は Y の少なくとも一方に属する部分（和集合）を表す。
平成22年度 春期 ITパスポート試験 問69
テクノロジ系基礎理論 › 離散数学
这道题的解析和你的作答记录。
解説
問 69
错误ア
「非 A 的集合」也就是 A 的补集，其中只包含不属于 A 的元素。而 (A∩B) 的元素全都是属于 A 的元素，因此两者没有任何公共元素。例如 A={1,2}、B={2,3} 时 (A∩B)={2}，2 是 A 的元素，所以不会被包含在 A 的补集中，子集关系不成立。只有在 (A∩B) 恰好成为空集时才碰巧成立，不能说是「始终成立」。
- イ
正解 正确答案是 イ 的「（A∩B）是 A 的子集」。交集 (A∩B) 按题干给出的定义就是「A 与 B 的公共部分」，即只把同时属于 A 和 B 的元素收集起来构成的集合。这些元素无一例外也都是 A 的元素，因此 (A∩B) 的元素全部包含在 A 之中。这正是子集的定义本身，所以 (A∩B) ⊆ A 与 A 和 B 的具体内容无关，始终成立。用韦恩图来看，就对应于 A 的圆与 B 的圆重叠的部分必定画在 A 的圆的内侧。另外，当 A 与 B 没有公共元素时 (A∩B) 会成为空集，而空集是任何集合的子集，因此这种情况下该关系同样成立。出于同样的理由，(A∩B) ⊆ B 也始终成立。
错误ウ
包含关系反了。并集 (A∪B) 是把至少属于 A 或 B 之一的元素全部收集起来的最大范围，交集 (A∩B) 则是只含同时属于两者的元素的最小范围，因此始终成立的是 (A∩B) ⊆ (A∪B) 这一方向。若 A={1,2}、B={2,3}，则 (A∪B)={1,2,3}、(A∩B)={2}，1 和 3 都不在 (A∩B) 中，所以不成立。只有在 A 与 B 完全一致这种特殊情形下才成立。
错误エ
(A∪B) 中也包含只属于 B 的元素，如果这样的元素在 A 之外，它就不会是 A 的子集。若 A={1,2}、B={2,3}，则 (A∪B)={1,2,3}，其中 3 不属于 A，所以不成立。这只有在 B 是 A 的子集时才成立，并不是对任意的 A 和 B 都始终成立的关系。
ここがポイント
- 交集 (A∩B) 是「既属于 A 又属于 B」的元素的集合，范围最窄；并集 (A∪B) 是「至少属于 A 或 B 之一」的元素的集合，范围最宽。始终成立的包含关系有两条：(A∩B) ⊆ A ⊆ (A∪B)，以及 (A∩B) ⊆ B ⊆ (A∪B)。
- 被问到「是否始终成立」时，画一张韦恩图，或者代入 A={1,2}、B={2,3} 这类只有部分重叠的具体例子来寻找反例，是最可靠的做法。只在特定条件下（A 与 B 一致、一方包含于另一方、公共部分为空）才成立的选项，应判断为错误。
用語