問63
頻出度★★☆
a, b, c, d, e, fの6文字を任意の順で1列に並べたとき, aとbが隣同士になる場合は, 何通りか。
平成26年度 春期 ITパスポート試験 問63
テクノロジ系基礎理論 › 応用数学
この問題の解説と、これまでの解答の記録です。
解説
問 63
不正解ア
120通りは、a と b をブロックにまとめて5つの要素の並べ方 5! = 120 を求めたところで計算を止めてしまった値です。ブロックの内部にも「ab」と「ba」の2通りの並びがあるため、最後に 2! = 2 を掛ける必要があります。隣接条件をブロック化で処理するときは「まとめた後の並べ方 × ブロック内部の並べ方」の2段構えになる、という点を落としています。
- イ
正解 正解はイの240通りです。「隣同士になる」という条件は、隣り合う2文字をひとまとまり (ブロック) にまとめて数える定石で処理します。まず a と b を1つのブロック「ab」とみなすと、並べる対象は「ab ブロック」「c」「d」「e」「f」の5つになります。この5つを1列に並べる方法は 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120通りです。次に、ブロックの中身にも並び方があることを忘れてはいけません。a と b の順序は「ab」と「ba」の2通りあるので、内部の並べ方 2! = 2通りを掛けます。したがって求める場合の数は 120 × 2 = 240通りとなり、イが正解です。念のため確認すると、6文字全体の並べ方は 6! = 720通りで、そのうち a と b が隣り合うのは 240 ÷ 720 = 1/3 にあたります。6つの位置のうち隣接する位置の組は (1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6) の5組で、a と b が占める位置の組み合わせは全部で 6 × 5 ÷ 2 = 15組ですから、隣接する確率は 5/15 = 1/3。この検算とも一致します。
不正解ウ
720通りは 6! = 720、すなわち a と b が隣り合うかどうかを問わない、6文字すべての並べ方の総数です。条件を一切絞り込んでいないため誤りです。実際、求める240通りはこの720通りのちょうど3分の1にあたります。
不正解エ
1,440通りは 6! × 2 = 1,440 で、全体の並べ方 720通りにブロック内部の2通りを重ねて掛けてしまった値です。ブロック化したときに数えるべきは 6つではなく5つの要素の並べ方 (5!) であり、6! を使うとブロックにまとめた分の重複を戻さないまま2倍することになります。そもそも条件を付けた場合の数が全体の総数720通りを超えることはあり得ないので、この時点で誤りだと気付けます。
ここがポイント
- 順列 (並べ方) の総数: 異なる n 個のものを1列に並べる方法は n! = n × (n−1) × … × 2 × 1 通り。本問では 6文字全体なら 6! = 720通り、ブロック化後の5要素なら 5! = 120通りとなる。
- 「隣同士 (隣接) 条件」は、隣り合う要素をひとまとめのブロックとして扱うのが定石。手順は (1) ブロックを1個の要素とみなして全体を並べる、(2) ブロック内部の並び順を掛ける、の2段階で、本問は 5! × 2! = 240通り。内部の並べ方の掛け忘れと、ブロック化後の要素数の数え違い (5個を6個としてしまう) が典型的な失点パターンである。
用語