問62
頻出度★★☆
二つの集合AとBについて，常に成立する関係を記述したものはどれか。ここで，（X∩Y）は，XとYの両方に属する部分（積集合），（X∪Y）は，X又はYの少なくとも一方に属する部分（和集合）を表す。
平成27年度 春期 ITパスポート試験 問62
テクノロジ系基礎理論 › 離散数学
この問題の解説と、これまでの解答の記録です。
解説
問 62
不正解ア
「(A∪B) は (A∩B) でない集合の部分集合である」は誤りです。和集合 A∪B は A と B の少なくとも一方に属する要素を全部含むので、重なり部分 A∩B の要素も当然 A∪B に含まれます。つまり A∩B ⊆ A∪B であって、A∪B が A∩B の補集合（A∩B でない部分）に収まることはありません。A と B に共通要素が一つでもあれば、その要素が反例になります。
不正解イ
「(A∪B) は A の部分集合である」は誤りです。和集合には B にしか属さない要素も含まれるため、B が A に含まれない要素をもつ場合、その要素は A∪B にあって A には無く、部分集合の条件が崩れます。正しい包含関係は逆向きで A ⊆ A∪B です。B ⊆ A という特別な場合にだけ成り立つので、「常に成立する」とは言えません。
- ウ
正解 正解はウ。積集合 A∩B は「A にも B にも属する要素」だけを集めたもの、和集合 A∪B は「A と B の少なくとも一方に属する要素」を集めたものです。A∩B の要素をどれか一つとると、それは定義から A にも B にも属しているので、「少なくとも一方に属する」という条件も当然に満たし、A∪B に属します。したがって A∩B のすべての要素が A∪B の要素であり、A∩B ⊆ A∪B が常に成立します。これは A と B がどんな集合であっても、たとえ A∩B が空集合であっても（空集合はどんな集合の部分集合でもある）成り立ちます。ベン図で見ると、A の円と B の円が重なった部分は、必ず二つの円を合わせた領域の内側に収まっていることから直感的に確認できます。同じ理由で A∩B ⊆ A、A∩B ⊆ B も常に成立します。
不正解エ
「(A∩B) は A でない集合の部分集合である」は誤りです。A∩B の要素は定義上すべて A に属しているので、A の補集合（A でない部分）に入ることはありません。正しくは A∩B ⊆ A です。A∩B が空集合のときだけ形式的に成り立ちますが、共通要素がある一般の場合には成立しないため「常に成立する関係」にはなりません。
ここがポイント
- 積集合 A∩B は「両方に属する要素」、和集合 A∪B は「少なくとも一方に属する要素」。この定義から、常に A∩B ⊆ A ⊆ A∪B かつ A∩B ⊆ B ⊆ A∪B という包含関係が成り立つ。
- 部分集合の包含関係は向きが重要。積集合は元の集合より小さく（または等しく）、和集合は元の集合より大きい（または等しい）。ベン図を描いて重なり部分と全体を確認すると誤答を防げる。
用語