問62
頻出度★★☆
二つの集合AとBについて，常に成立する関係を記述したものはどれか。ここで，（X∩Y）は，XとYの両方に属する部分（積集合），（X∪Y）は，X又はYの少なくとも一方に属する部分（和集合）を表す。
平成27年度 春期 ITパスポート試験 問62
テクノロジ系基礎理論 › 離散数学
这道题的解析和你的作答记录。
解説
問 62
错误ア
“(A∪B) 是非 (A∩B) 的子集”是错误的。并集 A∪B 包含了至少属于 A 或 B 之一的全部元素，所以重叠部分 A∩B 的元素当然也包含在 A∪B 之中。也就是说是 A∩B ⊆ A∪B，A∪B 不会落在 A∩B 的补集（非 A∩B 的部分）之内。只要 A 和 B 有哪怕一个公共元素，该元素就是反例。
错误イ
“(A∪B) 是 A 的子集”是错误的。并集还包含只属于 B 的元素，因此当 B 含有不属于 A 的元素时，该元素在 A∪B 中却不在 A 中，子集的条件就被破坏了。正确的包含关系方向相反，是 A ⊆ A∪B。只有在 B ⊆ A 这种特殊情况下才成立，所以不能说它“始终成立”。
- ウ
正解 正确答案是ウ。交集 A∩B 只收集「既属于 A 又属于 B 的元素」，并集 A∪B 收集「至少属于 A、B 之一的元素」。任取 A∩B 中的一个元素，按定义它既属于 A 也属于 B，因此当然满足「至少属于其中之一」这个条件，从而属于 A∪B。所以 A∩B 的所有元素都是 A∪B 的元素，即 A∩B ⊆ A∪B 恒成立。无论 A 和 B 是什么集合，甚至当 A∩B 为空集时（空集是任何集合的子集）也同样成立。从维恩图看，A 圆与 B 圆重叠的部分必定落在两个圆合并而成的区域内部，可以直观地确认这一点。同理，A∩B ⊆ A 和 A∩B ⊆ B 也恒成立。
错误エ
“(A∩B) 是非 A 的子集”是错误的。A∩B 的元素按定义全都属于 A，所以不可能落进 A 的补集（非 A 的部分）。正确的是 A∩B ⊆ A。只有当 A∩B 为空集时它才在形式上成立，在存在公共元素的一般情况下并不成立，因此不能算“始终成立的关系”。
ここがポイント
- 交集 A∩B 是“同时属于两个集合的元素”，并集 A∪B 是“至少属于其中一个集合的元素”。由这一定义可知，始终成立 A∩B ⊆ A ⊆ A∪B 以及 A∩B ⊆ B ⊆ A∪B 这样的包含关系。
- 子集的包含关系方向很重要。交集比原来的集合小（或相等），并集比原来的集合大（或相等）。画出韦恩图确认重叠部分与整体，就能避免选错。
用語