問82
頻出度★★☆
次の体系をもつ電話番号において，80億個の番号を創出したい。番号の最低限必要な桁数は幾つか。ここで，桁数には“020”を含むこととする。
0 2 0 □ □ … □
- 各桁に0～9のいずれかを指定（“020”に続く先頭の□を除く，それ以降の各□） - 1～3及び5～9のいずれかを指定（“020”に続く先頭の□）
令和元年度 秋期 ITパスポート試験 問82
テクノロジ系基礎理論 › 応用数学
この問題の解説と、これまでの解答の記録です。
解説
問 82各桁の選択肢数を掛け合わせて総数を求める積の法則
不正解ア
11桁だと可変桁は 11−3＝8桁となり，総数は 8×10^7＝8000万個にしかならず，80億にまったく届かない。
不正解イ
12桁だと可変桁は 12−3＝9桁となり，総数は 8×10^8＝8億個。80億の10分の1しかなく不足する。可変桁を1桁増やすと10倍になることを見落とした値。
- ウ
正解 電話番号は先頭の固定“020”（3桁）と，それに続く可変桁の□で構成される。可変桁のうち，先頭の□は1～3及び5～9の8通り，それ以降の各□は0～9の10通りである。可変桁数をnとすると，作れる番号の総数は 8×10^(n−1) 通りになる。これが80億＝8×10^9 以上であればよいので，8×10^(n−1) ≧ 8×10^9 より 10^(n−1) ≧ 10^9，すなわち n−1 ≧ 9，n ≧ 10。最小の可変桁数は10桁（このとき総数はちょうど 8×10^9＝80億）。桁数には固定の“020”の3桁を含めるので，最低限必要な桁数は 3＋10＝13桁。よって正解はウ。
不正解エ
14桁だと可変桁は 14−3＝11桁となり，総数は 8×10^10＝800億個と80億を大きく超える。要件は満たすが「最低限必要な桁数」ではなく，13桁で足りるため過剰。
ここがポイント
- 各桁の選択肢数を掛け合わせて総数を求める積の法則。可変桁が先頭□は8通り，残り各桁は10通りなので総数は 8×10^(可変桁数−1)。
- 「最低限必要な桁数」は総数が要求値（80億）以上になる最小の桁数を選ぶこと，かつ固定の“020”3桁を桁数に含める点に注意する。
用語