応用数学

1. 出典: 平成21年度 秋期 ITパスポート試験 問46

あるプロジェクトの関係者6人が,それぞれ1対1で情報の伝達を行う必要があるとき,情報の伝達を行うために必要な経路の数は少なくとも幾つになるか。

• ア6
• イ9
• ウ15
• エ30

組合せ

2. 出典: 平成21年度 秋期 ITパスポート試験 問70

0から1までの一様乱数からXとYを取り出すことを600回繰り返す。このときY＜Xを満たす回数の期待値は幾らか。

• ア150
• イ200
• ウ300
• エ400 」

確率

3. 出典: 平成21年度 春期 ITパスポート試験 問7

いずれも時価100円の四つの株式があり，そのうちの一つに投資したい。経済の成長が高成長，中成長，低成長の場合，それぞれの株式の予想値上がり幅が表のとおりであるとき，値上がり幅の期待値が最も高い株式はどれか。ここで，高成長，中成長，低成長になる確率はそれぞれ0.4，0.4，0.2であり，経済が成長しない場合は考えないものとする。 単位　円 | 株式 | 高成長 | 中成長 | 低成長 | |------|--------|--------|--------| | A | 20 | 10 | 15 | | B | 30 | 20 | 5 | | C | 25 | 5 | 20 | | D | 40 | 10 | -10 |

• アA
• イB
• ウC
• エD

確率

4. 出典: 平成21年度 春期 ITパスポート試験 問80

横軸を点数（0 ～ 10 点）とし，縦軸を人数とする度数分布のグラフが，次の黒い棒グラフになった場合と，グレーの棒グラフになった場合を考える。二つの棒グラフを比較して言えることはどれか。 | 点数（点） | 黒い棒グラフ（人数） | グレーの棒グラフ（人数） | |---|---|---| | 0 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 | | 2 | 2 | 0 | | 3 | 3 | 2 | | 4 | 4 | 5 | | 5 | 5 | 11 | | 6 | 4 | 5 | | 7 | 3 | 2 | | 8 | 2 | 0 | | 9 | 1 | 0 | | 10 | 0 | 0 |

• ア分散はグレーの棒グラフが, 黒の棒グラフより大きい。
• イ分散はグレーの棒グラフが, 黒の棒グラフより小さい。
• ウ分散はグレーの棒グラフと, 黒の棒グラフで等しい。
• エ分散はこのグラフだけで比較することはできない。

分散 · 標準偏差 · ヒストグラム

5. 出典: 平成22年度 秋期 ITパスポート試験 問66

ものとものとのつながりを抽象化してとらえるとき，X から Y へのつながり（順序関係という）を（X，Y）と記し，(X)──→(Y) と図示するものとする。3 組の順序関係（A，B），（A，C），（B，D）を図で示したものはどれか。

• ア有向グラフ {A→B, C→A, D→B}(A左上・B右上・C左下・D中央下)。C→A と D→B が向きを誤った不正解図。
• イ有向グラフ {A→B, A→C, D→B}(A左上・B右上・C左下・D中央下)。D→B が (B,D) の向きを逆にした不正解図。
• ウ有向グラフ {B→A, A→C, B→D}(A左上・B右上・C左下・D右中央下)。B→A が (A,B) の向きを逆にした不正解図。
• エ有向グラフ {A→B, A→C, B→D}(A左上・B右上・C左下・D右中央下)。3組の順序関係(A,B)(A,C)(B,D)を正しく示す正解図。

有向グラフ · ノード · エッジ

6. 出典: 平成22年度 秋期 ITパスポート試験 問72

図1のA₁地点からC₂地点へ行くとき，通過する地点が最も少なくてすむ最短経路は，図2のように数えることによって3通りあることが分かる。A₁地点から，C₂地点を経由して，D₄地点へ行く最短経路は何通りあるか。 【図1】格子状の地点配置（縦に4行，横に4列）。各行・各列の地点は格子状の経路で隣接地点とつながっている。 | 行＼列 | 1列目 | 2列目 | 3列目 | 4列目 | |---|---|---|---|---| | D行（最上行） | D₁ | D₂ | D₃ | D₄ | | C行 | C₁ | C₂ | C₃ | C₄ | | B行 | B₁ | B₂ | B₃ | B₄ | | A行（最下行） | A₁ | A₂ | A₃ | A₄ | 出発地点はA₁（左下），経由地点はC₂，目的地点はD₄（右上）。 【図2】A₁からC₂までの最短経路の数え方。矢印は最短経路の進行方向，（ ）内数字は，A₁からその地点までの最短経路の数を表す。 - A₁ → B₁（1） - A₁ → A₂（1） - B₁ → C₁（1） - B₁ → B₂（2） - A₂ → B₂（2） - C₁ → C₂（3） - B₂ → C₂（3）

• ア6
• イ9
• ウ12
• エ20

組合せ

7. 出典: 平成22年度 秋期 ITパスポート試験 問82

a, b, c, d, e, f の6文字すべてを任意の順で一列に並べたとき, a と b が両端になる場合は, 何通りか。

• ア24
• イ30
• ウ48
• エ360

順列 · 組合せ

8. 出典: 平成22年度 春期 ITパスポート試験 問11

ある市場が今後, 拡大, 現状維持, 縮小する場合の商品 A, B, C の販売利益が表のとおり見込まれており, 拡大, 現状維持, 縮小する確率がそれぞれ 0.2, 0.5, 0.3 であるとき, どの商品を販売すると予想利益が最高となるか。ここで, 商品の予想利益は販売利益の期待値から開発コストを差し引いたものとし, 各商品 A, B, C の開発コストは, それぞれ 20 億円, 10 億円, 15 億円とする。 単位 億円 | 商品 | 拡大 | 現状維持 | 縮小 | | --- | --- | --- | --- | | A | 60 | 50 | 40 | | B | 80 | 40 | 20 | | C | 100 | 40 | 0 |

• アA
• イB
• ウC
• エA, B, Cどれでも同じ

確率 · 平均値

9. 出典: 平成22年度 春期 ITパスポート試験 問31

A さんだと 10 日, B さんだと 15 日かかるプログラム開発の作業がある。これを A さんと B さんが一緒に作業した場合, 何日かかるか。ここで, 2 人で作業を行った場合もそれぞれの作業効率は変わらないものとする。

• ア5
• イ6
• ウ7.5
• エ12.5

10. 出典: 平成22年度 春期 ITパスポート試験 問67

表のA列とB列に0から9までの数字のすべての組合せが入っており，全部で100行ある。表からA列の値がB列の値以下である行をすべて取り除く。残りは何行あるか。 | A | B | |---|---| | 0 | 0 | | 0 | 1 | | 0 | 2 | | … | … | | 9 | 8 | | 9 | 9 |

• ア40
• イ45
• ウ50
• エ55

組合せ

11. 出典: 平成23年度 秋期 ITパスポート試験 問37

インタフェースを一つだけもつモジュールが 6 個ある。これらのモジュールが相互に結合できるかを試験したい。1 組のモジュールの結合テストに 4 時間を要するとき, 全ての組合せのテストに合計何時間掛かるか。

• ア20
• イ24
• ウ60
• エ120

組合せ

12. 出典: 平成23年度 特別試験 ITパスポート試験 問56

紙の大きさの規格は図のような相似形であり，例えばA判用紙では，A3の面積の半分がA4になるという関係にある。コピー機でA4サイズの原稿をA3サイズに拡大コピーするためには，どの拡大率（％）を選んだらよいか。ここで，拡大率は長い辺同士の比率を表す。

• ア122
• イ141
• ウ150
• エ200

微分と積分 · 比例尺度 · 誤差

13. 出典: 平成24年度 秋期 ITパスポート試験 問78

4文字のパスワードに関して，0〜9の数字だけを使用した場合に比べ，0〜9の数字の他に a〜f の英小文字6文字も使用できるようにした場合は，組合せの数はおよそ何倍になるか。

• ア1.6
• イ6.6
• ウ8.7
• エ16.0

組合せ · パスワード

14. 出典: 平成25年度 春期 ITパスポート試験 問36

プロジェクトの参加メンバが、それぞれ1対1で情報の伝達を行う必要がある。このとき、プロジェクトの参加メンバ数と情報の伝達を行うために必要な経路の数との関係に関する記述として、適切なものはどれか。

• ア参加メンバが1人増えた場合の経路の数の増分は、元の参加メンバが多いほど大きくなる。
• イ参加メンバが1人増えると経路の数は必ず一つ増加する。
• ウ参加メンバ数xと経路の数yの関係はy＝xで表される。
• エ参加メンバ数xと経路の数yの関係はy＝x²で表される。

組合せ

15. 出典: 平成25年度 春期 ITパスポート試験 問76

共通鍵暗号方式では通信の組合せごとに鍵が1個必要となる。例えばA～Dの4人が相互に通信を行う場合は，AB，AC，AD，BC，BD，CDの組合せの6個の鍵が必要である。8人が相互に通信を行うためには何個の鍵が必要か。

• ア12
• イ16
• ウ28
• エ32

組合せ · 共通鍵暗号方式

16. 出典: 平成26年度 秋期 ITパスポート試験 問95

T組とU組の得点分布は，図4のとおりであった。この二つの組の平均点と標準偏差に関する記述として，適切なものはどれか。

• ア平均点は同じであるが，標準偏差は異なる。
• イ平均点は異なるが，標準偏差は同じである。
• ウ平均点も，標準偏差も同じである。
• エ平均点も，標準偏差も異なる。

標準偏差 · 平均値

17. 出典: 平成26年度 秋期 ITパスポート試験 問96

P～S組の平均点と標準偏差は，表2のとおりであった。この四つの組の中で，他の組に比べて成績が良くも悪くもなく，また，多くの受講生がその組の平均点に近い得点をとった組があった。その組では，得点が4～6点だった受講生の割合が他の組に比べて最も多かった。その組はどれか。 表2　P～S組の平均点と標準偏差 | | P組 | Q組 | R組 | S組 | |---|---|---|---|---| | 平均点 | 5.40 | 4.40 | 5.00 | 5.00 | | 標準偏差 | 2.89 | 2.07 | 1.02 | 2.07 |

• アP
• イQ
• ウR
• エS

標準偏差 · 平均値

18. 出典: 平成26年度 春期 ITパスポート試験 問63

a, b, c, d, e, fの6文字を任意の順で1列に並べたとき, aとbが隣同士になる場合は, 何通りか。

• ア120
• イ240
• ウ720
• エ1,440

順列 · 組合せ

19. 出典: 平成26年度 春期 ITパスポート試験 問87

電話受付センタのオペレータの勤務形態は、図2に示すように勤務時間によって四つのパターンに分けられている。Yさんは、電話受付センタを集約することによって削減可能なオペレータの人数を試算することにした。表1のように、電話受付センタ集約後に時間帯A～Dの各時間帯で最低限必要な人数を設定したとき、オペレータに掛かる費用を最小化するために考慮すべき条件として、適切でないものはどれか。 〔前提〕 (1) オペレータ1人に掛かる費用は、「時間給×勤務時間」で算出する。 (2) オペレータの時間給は、どの勤務パターンでも同じである。 (3) どの勤務パターンでも最低1人はオペレータがいるものとする。 図2 勤務時間別パターン一覧 | | 時間帯A | | | 時間帯B | | | 時間帯C | | | 時間帯D | | | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | 時間 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | | 勤務パターン1 | P1 | P1 | P1 | P1 | P1 | P1 | | | | | | | | 勤務パターン2 | | | | P2 | P2 | P2 | P2 | P2 | P2 | | | | | 勤務パターン3 | | | | | | | P3 | P3 | P3 | P3 | P3 | P3 | | 勤務パターン4 | | | | | | | | | | P4 | P4 | P4 | | 勤務中のオペレータの人数 | P1 | | | P1+P2 | | | P1+P2+P3 | | | P2+P3+P4 | | | 注 P1～P4は勤務パターンごとのオペレータの人数である。パターンごとの網掛けした枠は、勤務時間帯を示す。 表1 時間帯別の最低必要人数 | | 時間帯A | 時間帯B | 時間帯C | 時間帯D | |---|---|---|---|---| | 最低必要人数 | Q1 | Q2 | Q3 | Q4 | 注 Q1～Q4は時間帯別の最低必要人数である。

• アP1～P4 は1以上であること
• イQ1～Q4 の合計よりも P1～P4 の合計が大きいこと
• ウ勤務パターンごとの"時間給×勤務時間×人数"の総和が最小になること
• エ時間帯別の勤務中のオペレータの人数は最低必要人数を満足すること

最適化問題 · 最適化

20. 出典: 平成28年度 秋期 ITパスポート試験 問61

パスワードの長さが8文字で、各文字に使用できる文字の種類がM種類のとき、設定できるパスワードの総数を表す式はどれか。

• ア8×M
• イ8^M
• ウM^8−1
• エM^8

組合せ · パスワード · 順列

21. 出典: 平成28年度 春期 ITパスポート試験 問33

地点Xから出発してA，B，Cの3地点の全てを経由して地点Yまで行きたい。各地点間の経路と所要時間が図及び表のとおりであるとき，地点XからYまで行く最短の時間は何分か。ここで，3地点A，B，Cはどのような順番で経由してもよいものとする。 単位　分 | 始点 ＼ 終点 | A | B | C | Y | | X | 20 | 20 | 40 | 不可 | | A | − | 40 | 30 | 不可 | | B | 40 | − | 20 | 60 | | C | 30 | 20 | − | 60 |

• ア110
• イ130
• ウ140
• エ150

最適化問題 · 辺 · 頂点

22. 出典: 平成28年度 春期 ITパスポート試験 問98

それぞれが独立に点灯消灯の操作ができる5個のランプが並んでいる。2個以上のランプが点灯しているパターンは何通りあるか。ここで, 全てが点灯しているパターンは1通り, いずれか1個が点灯しているパターンは5通りと数えるものとする。

• ア4
• イ10
• ウ26
• エ32

組合せ · 順列

23. 出典: 平成30年度 秋期 ITパスポート試験 問5

機械 X と Y を使用する作業 A, B, C があり, いずれの作業も機械 X, 機械 Y の順に使用する必要がある。各作業における機械 X と Y の使用時間が表のとおりであるとき, 三つの作業を完了するための総所要時間が最小となる作業の順番はどれか。ここで, 図のように機械 X と Y は並行して使用できるが, それぞれの機械は二つ以上の作業を同時に行うことはできないものとする。 表 各作業における機械 X と Y の使用時間 | | 機械 X の使用時間 | 機械 Y の使用時間 | |---|---|---| | 作業A | 8分 | 10分 | | 作業B | 10分 | 5分 | | 作業C | 6分 | 8分 | 機械X｜作業A (8分)｜作業B (10分)｜作業C (6分) 機械Y｜　　　　　作業A (10分)｜作業B (5分)｜作業C (8分) 図 機械使用スケジュール (A→B→C の順で作業したときの例)

• アA→B→C
• イA→C→B
• ウC→A→B
• エC→B→A

最適化問題

24. 出典: 平成30年度 秋期 ITパスポート試験 問42

1対1で情報の伝達を行う必要があるプロジェクトチームにおいて，メンバが6人から10人に増えた場合，情報の伝達を行うために必要な経路の数は何倍になるか。

• ア1.5
• イ2.5
• ウ3
• エ6

組合せ

25. 出典: 令和元年度 秋期 ITパスポート試験 問72

3人の候補者の中から兼任も許す方法で委員長と書記を1名ずつ選ぶ場合, 3人の中から委員長1名の選び方が3通りで, 3人の中から書記1名の選び方が3通りであるので, 委員長と書記の選び方は全部で9通りある。5人の候補者の中から兼任も許す方法で委員長と書記を1名ずつ選ぶ場合, 選び方は何通りあるか。

• ア5
• イ10
• ウ20
• エ25

順列 · 組合せ

26. 出典: 令和元年度 秋期 ITパスポート試験 問82

次の体系をもつ電話番号において，80億個の番号を創出したい。番号の最低限必要な桁数は幾つか。ここで，桁数には「020」を含むこととする。 ``` 0 2 0 □ □ … □ ``` - 各桁に0～9のいずれかを指定（「020」に続く先頭の□を除く，それ以降の各□） - 1～3及び5～9のいずれかを指定（「020」に続く先頭の□）

• ア11
• イ12
• ウ13
• エ14

組合せ

27. 出典: 令和4年度 ITパスポート試験 問59

次のデータの平均値と中央値の組合せはどれか。 〔データ〕 10, 20, 20, 20, 40, 50, 100, 440, 2000

• ア[表] | | 平均値 | 中央値 | |---|---|---| | ア | 20 | 40 |
• イ[表] | イ | 40 | 20 |
• ウ[表] | ウ | 300 | 20 |
• エ[表] | エ | 300 | 40 |

平均値 · 中央値 · メジアン

28. 出典: 令和4年度 ITパスポート試験 問93

A3判の紙の長辺を半分に折ると, A4判の大きさになり, 短辺：長辺の比率は変わらない。A3判の長辺は A4判の長辺のおよそ何倍か。

• ア1.41
• イ1.5
• ウ1.73
• エ2

順列 · 組合せ · 誤差

29. 出典: 令和5年度 ITパスポート試験 問77

受験者10,000人の4教科の試験結果は表のとおりであり、いずれの教科の得点分布も正規分布に従っていたとする。ある受験者の4教科の得点が全て71点であったとき、この受験者が最も高い偏差値を得た教科はどれか。 単位 点 | | 平均点 | 標準偏差 | |---|---|---| | 国語 | 62 | 5 | | 社会 | 55 | 9 | | 数学 | 58 | 6 | | 理科 | 60 | 7 |

• ア国語
• イ社会
• ウ数学
• エ理科

偏差値 · 標準偏差 · 平均値

30. 出典: 令和6年度 ITパスポート試験 問83

1から6までの六つの目をもつサイコロを3回投げたとき、1回も1の目が出ない確率は幾らか。

• ア1/216
• イ91/72
• ウ91/216
• エ125/216

確率

31. 出典: 令和7年度 ITパスポート試験 問63

データの尺度を名義尺度, 順序尺度, 間隔尺度, 比例尺度の四つに分類したとき, 間隔尺度に該当するものはどれか。

• ア学年
• イ血液型
• ウ時刻
• エ睡眠時間

尺度 · 間隔尺度 · 名義尺度 · 順序尺度 · 比例尺度

32. 出典: 令和7年度 ITパスポート試験 問85

問題を解いて解答群の中から正解を選ぶ、ある AI システムがある。このシステムは, 1回の学習の過程を経るごとに, 学習の過程の前後の比較において, 誤り率が5%低下する (前回の誤り率の95%になる)。現在の正解率が89%であるとき, 正解率が90%を超えるためには, 少なくともあと何回の学習の過程が必要か。

• ア1
• イ2
• ウ3
• エ4

確率