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图论基础

標準约 26 分钟6 个术语过去问 4 题

本单元目标

  • 能够区分构成图的顶点与边各自的作用。
  • 能够将节点、边(edge)分别对应为顶点、边的别称。
  • 能够根据有无箭头辨别有向图与无向图,并用箭头画出带顺序的关系。
术语总表(6 个)
术语一句话表示的对象别称・成对的词
頂点图中表示对象或地点的点事物・地点别称为节点
ノード用源自英语的叫法称呼顶点与顶点相同顶点
辺连接两个顶点、表示关联的线关联・关系别称为边(edge)
エッジ用源自英语的叫法称呼边与边相同边
有向グラフ边有方向、用箭头来画的图单向的关系无向图
無向グラフ边没有方向、只用线来画的图双向对等的关系有向图

术语

顶点頂点是图中表示人、车站、计算机等对象或地点的点。

图グラフ是用若干顶点和连接顶点的线(边)组合起来表示事物之间关联的图形。顶点相当于“什么和什么相连”中的“什么”,通常画成圆圈或点。选哪些东西作顶点取决于想表示的对象,同一张铁路网既可以把车站当作顶点,也可以把线路当作顶点。

类比就像在地图上标出的集合地点记号。记号本身只代表地点,记号之间怎么走则交给另外的线来表示。

记法和几何中三角形两条边相交处的角点叫“顶点”是同一个词。

考点

  • 常考做路线类题目时,把出发地、途经地、目的地都看作顶点頂点,把连接地点的道路当作边辺来整理,思路会更清楚。
  • 易混顶点頂点表示对象本身,边辺表示对象之间的关系。看它对应的是点还是线来区分。

该术语的过去问 1 题 頂点

节点ノード是图中顶点的源自英语的叫法,所指的东西与顶点相同。

在 IT 领域,连接到网络上的设备,以及树结构、列表等数据结构中的元素,也都叫作节点。它们都是“放在关联两端的元素”,与图中顶点的作用相同。

记法英语 node 原本是“结”的意思。可以联想渔网上线与线交叉处的绳结。

考点

  • 易混节点ノード与顶点頂点只是叫法不同,并不是不同的构成要素。

该术语的过去问 1 题 ノード

边辺是连接两个顶点、表示两者之间存在关联或关系的线。

边的两端一定有顶点,连接哪两个顶点决定了表示的是什么关系。边上有时会附加距离、时间、费用等数值,这个数值叫作权重。使用带权重的边,就能把从一个地点到另一个地点的路程当作边上数值的合计来比较。

类比就像连接城镇与城镇的公路。有公路,两座城镇就连在了一起;在每条公路上写上所需时间,就能看出是不是绕了远路。

记法和三角形的“边”是同一个字,记作连接角点(顶点)与角点的线。

考点

  • 常考在给边辺附上所需时间作为权重重み的图中,某条路线的所需时间等于该路线经过的各条边的权重之和。
  • 常考若任意两个顶点頂点之间都用一条边辺相连,顶点有 n 个时,边共有 n(n−1)/2 条。例如顶点为 5 个时,边为 10 条。

该术语的过去问 1 题 辺

「顶点」与「边」的区别

比较点顶点边
关键表示的对象对象或地点本身两个对象之间的关联
画法圆圈或点连接顶点与顶点的线
源自英语的叫法节点边(edge)

边(edge)エッジ是图中边的源自英语的叫法,所指的东西与边相同。

在把顶点称为节点的场合,边也多改用英文叫法 edge,用“节点与 edge”这一组词来说明图。在网络领域,有时把设备(节点)之间相连的线路或连接看作边(edge)。另外,边缘计算(エッジコンピューティング)中的“边缘”是另一种意思,指网络的末端(靠近用户或设备的一侧)。

记法英语 edge 是“边缘、边沿”的意思。把它与图形的边沿,也就是连接角与角的线联系起来记忆。

考点

  • 常考把顺序关系画成图时,一组关系对应一条边(edge)エッジ,所以要画的边(edge)的条数与关系组数一致。
  • 易混边(edge)エッジ与边辺只是叫法不同,并不是不同的构成要素。

该术语的过去问 1 题 エッジ

有向图有向グラフ是边带有方向、用箭头来画边的图。

頂点A

頂点B

頂点C

箭头表示从起点顶点指向终点顶点的关系,除非另有反向箭头,反方向的关系并不成立。作业的先后关系、网页之间的链接、单行道组成的道路网等,都可以用有向图表示。

类比就像设有单行道标志的道路网。只能按标志的方向前进,想回去就得走另一条路。

记法“有向”字面意思就是“有方向”。看线的一端有没有箭头。

考点

  • 常考带顺序的组(P, Q)画成一条以 P 为起点、Q 为终点的箭头。交换起点和终点就成了另一种关系。

该术语的过去问 1 题 有向グラフ

无向图無向グラフ是边没有方向、用不带箭头的线来画边的图。

頂点A

頂点B

頂点C

由边相连的两个顶点是对等的,从哪一方看都是同样的关系。互相认识的关系、双向都能通行的道路网等,都可以用无向图表示。

类比就像握手。A 和 B 握手,B 也就在和 A 握手。

记法与“有向”只差一个字的“无向”。“无”就是没有箭头。

考点

  • 易混无向图無向グラフ中的一条边,相当于有向图有向グラフ中方向相反的两条箭头。

「有向图」与「无向图」的区别

比较点有向图无向图
关键边的方向有(用箭头画)无(用线画)
关系的性质从起点到终点的单向两端的顶点对等
例子作业的先后关系、网页的链接互相认识的关系

要点

  • 图的构成要素是画成点的顶点和用线连接顶点的边。
  • 节点是顶点的、边(edge)是边的源自英语的叫法,所指的东西相同。
  • 一个带顺序的组用一条箭头来画,交换起点和终点就成了另一种关系。
  • 给边附上所需时间等权重,就能用经过的各条边的权重之和来比较路线的长短。
  • 任意两个顶点之间都用边相连时,顶点 n 个则边有 n(n−1)/2 条。

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