2進数と基数

2進数 は、0 と 1 の 2 種類の数字だけで数を表し、桁が 1 つ左へ移るごとに、その桁の 1 が表す大きさ (重み) が 2 倍 になる表し方である。

1 桁で使える数字の種類の数を 基数 といい、2進数の基数は 2 である。整数部の重みは右端から 1、2、4、8 と倍々に増え、小数点より右の重みは 0.5、0.25、0.125 と半分ずつ減る。負の数は、正の数の各桁の 0 と 1 を反転して 1 を足した 2の補数 で表すのが一般的である。

たとえ点くか消えるかの 2 状態しかないランプを横一列に並べ、どのランプが点いているかの組合せで数を表すようなもの。

覚え方「2進」は「2 つたまると次の位へ進む」と読める。10進数は 10 個たまって進む。

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基数変換 は、値そのものは変えずに、基数の異なる表し方へ書き直すことである。

2進数を10進数にするには、各桁の数字にその桁の重みを掛けて合計する。10進数を2進数にするには、商が 0 になるまで 2 で割り続け、出た余りを最後のものから順に並べる。16進数は 0〜9 と A〜F の 16 種類の数字を使い、16進数の 1 桁は2進数の 4 桁に、8進数の 1 桁は2進数の 3 桁に対応する。

たとえ同じ長さをセンチとインチで言い直すように、量はそのままで、数字の書き方の物差しだけを取り替える作業。

覚え方16 = 2 の 4 乗だから16進の 1 桁は2進の 4 桁分、8 = 2 の 3 乗だから8進の 1 桁は2進の 3 桁分になる。

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2進数の 加算 は、下の桁から順に足し、ある桁の和が 2 以上になったら上の桁へ 1 を 繰り上げる 計算である。

1 桁どうしの和は 0+0=0、0+1=1、1+0=1、1+1=10 となり、繰り上がりが出るのは 1+1 のときである。下からの繰り上がりを受けた桁で 1+1+1 になると、その桁に 1 を残し、上の桁へも 1 を繰り上げる。2 倍は全体を 1 桁左へずらすことに当たり、掛け算は桁をずらした数どうしの加算として計算できる。

たとえ同じ硬貨が 2 枚たまったら、すぐ 1 つ上の額の硬貨 1 枚に両替する決まりの財布のようなもの。

覚え方2進数の 1+1 は10進数の 9+1 と同じ役回り。どちらも、その位で使える最大の数字を超えた瞬間に桁が上がる。

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2進数の 減算 は、下の桁から順に引き、引けない桁では上の桁から 1 を 借りて (繰り下がり) から引く計算である。

上の桁の 1 は 1 つ下の桁では 2 に当たるため、借りた桁では 2 を足した値から引く。0 が続く桁で借りるときは、1 が現れる桁まで借りが順に伝わり、途中の 0 の桁は 1 になる。コンピュータの内部では、引く数を 2の補数 に直して足すことで、減算を加算の回路で処理することが多い。

たとえ小銭が足りないとき大きい硬貨を両替して払うのと同じで、2進数では上の位の 1 枚がちょうど 2 枚に崩れる。