集合と論理演算
標準約 35 分8 用語過去問 12 題
この単元の目標
- 集合 の和・積・補と、ベン図 の領域を対応させて読めるようになる
- 真理値表 を作り、表から演算や論理式を見分けられるようになる
- AND と OR は片方だけが 1 の行で、OR と XOR は両方が 1 の行で、出力の違いを区別できるようになる
用語総表（8 語）
用語
集合 は、ある条件に当てはまるかどうかがはっきり決まる もの の集まりである。
集合に入っている 1 つひとつを 要素 といい、集合 X の要素がすべて集合 Y にも入っているとき、X を Y の 部分集合 という。2 つの集合からは、どちらかに入る要素を集めた 和集合 と、両方に入る要素だけを集めた 積集合 を作れる。全体の中である集合に入らない要素の集まりは 補集合 と呼ぶ。
たとえ部活の名簿のように、名前があるかないかで入る・入らないが決まるまとまり。「背の高い人」のように基準があいまいな集まりは集合にならない。
覚え方記号の ∪ は Union (合併) の頭文字 U の形、∩ はそれを伏せた形と覚える。
出題のポイント
- 出題どんな 2 つの集合でも、積集合の要素はすべてもとの集合に入り、もとの集合の要素はすべて和集合に入る。包含は「積集合 ⊆ もとの集合 ⊆ 和集合」の順に並ぶ。
この用語の過去問 2 題 集合 →
ベン図 は、集合を円で描き、円の 重なり と位置で集合どうしの関係を示す図である。
外枠の長方形が考えている全体を表し、円の内側がその集合、外側がその補集合に当たる。円が 2 つなら全体は 4 つ、3 つなら 8 つの領域に分かれ、各領域は「どの円の内側で、どの円の外側か」で 1 通りに決まる。塗った領域を言葉や式に直すと、条件の組み立てを目で確かめられる。
たとえ地図の上で、2 つの町の範囲を丸で囲み、重なった場所に両方の町に当てはまる家があると見るようなもの。
覚え方イギリスの論理学者ジョン・ベンの名から付いた呼び名で、「便利な図」ではない。
出題のポイント
- 出題塗られた領域を論理式にするには、領域ごとに各円の内側か外側かを確かめ、内側はその条件、外側はその条件を否定したものとして組み合わせる。
この用語の過去問 2 題 ベン図 →
真理値表 は、入力が取りうる すべての組合せ を行に並べ、それぞれの出力を書いた表である。
真 を 1、偽 を 0 と書くのが一般的で、入力が n 個なら行の数は 2 の n 乗になる。表は演算の働きをもれなく書き表すので、結果が同じ表になる 2 つの式は同じ働きをする式といえる。
たとえスイッチ 2 つの照明について、オンとオフの全パターンを試して電球が点くかどうかを記録した一覧。
覚え方「真理値」は真か偽かという値のことで、その値を一覧にした表という名前である。
出題のポイント
- 出題表がどの演算かは、出力が 1 になる行の入力の組を見ると決まる。1 になるのが入力すべて 1 の行だけなら論理積である。
- 出題否定を括弧の外に付けた式は、括弧の中の結果の列を作ってから、その 0 と 1 を入れ替えると表になる。
この用語の過去問 2 題 真理値表 →
論理演算 は、真 (1) と偽 (0) の 2 つの値だけを入力にとり、決まった規則で 1 か 0 を返す演算の総称である。
代表的な演算として AND や OR があり、入力を 1 つだけとる否定もある。演算を組み合わせた式は括弧の中から順に計算し、検索の条件式やコンピュータ内部のビットごとの処理に使われる。集合の積・和・補は、それぞれ論理積・論理和・否定と対応する。
たとえ質問に「はい」か「いいえ」でしか答えない係が、受け取った 1 つ以上の答えから、決まった手順で「はい」か「いいえ」を 1 つ返す作業。
覚え方英語では Boolean operation ともいい、2 値の計算を体系にした数学者ブールの名に由来する。
出題のポイント
- 出題条件式では、同じ項目のどれでもよい候補を OR でまとめて括弧に入れ、別の項目の条件と AND でつなぐと、候補を残したまま絞り込める。
この用語の過去問 1 題 論理演算 →
AND (論理積) は、入力が すべて 1 のときだけ出力が 1 になる演算である。
入力に 0 が 1 つでもあれば出力は 0 になり、集合では両方に入る要素を集めた積集合に当たる。条件を「かつ」でつなぐ絞り込みや、データの一部の桁だけを取り出す処理に使う。
たとえ鍵を 2 本とも回したときだけ開く金庫の扉。
覚え方記号の ∧ や「・」(掛け算の点) で書くことがあり、0 と 1 の掛け算と結果が同じになる。
出題のポイント
- 出題ビットごとの AND では、相手のビットが 0 の桁は 0 になり、1 の桁は元のデータの値がそのまま残る。
- 出題AND の出力をさらに別の入力と AND でつなぐと、すべての入力が 1 のときだけ最後の出力が 1 になる。
この用語の過去問 2 題 AND →
OR (論理和) は、入力の どれか 1 つでも 1 なら出力が 1 になる演算である。
出力が 0 になるのは入力がすべて 0 のときだけで、集合ではどちらかに入る要素を集めた和集合に当たる。条件を「または」でつなぎ、対象を広げるときに使う。
たとえ玄関と勝手口のどちらから帰っても鳴る、家の帰宅チャイム。
覚え方記号の ∨ や「+」(足し算) で書くことがあり、1 + 1 も 1 と扱う点だけが普通の足し算と違う。
出題のポイント
- 出題2 つの条件を OR でつないだときの該当数は、それぞれの該当数の和から、両方に当てはまる数を引いて求める。
この用語の過去問 1 題 OR →
NOT (否定) は、1 つの入力の 0 と 1 を入れ替える 演算である。
入力を 1 つだけとる単項演算で、2 つの入力を組み合わせる演算とは形が違う。集合ではある集合に入らない要素、つまり補集合に当たり、ベン図では円の外側の領域を表す。
たとえ押すたびに点灯と消灯が切り替わるボタン。
覚え方2 回続けて NOT をかけると元の値に戻る (否定の否定は肯定)。
出題のポイント
- 出題括弧の外の NOT は括弧の中の結果全体を反転するので、OR の結果を否定すると、入力がすべて 0 の行だけが 1 になる。
この用語の過去問 2 題 NOT →
XOR (排他的論理和) は、2 つの入力の値が 異なる ときだけ出力が 1 になる演算である。
入力が両方 0 でも両方 1 でも、値がそろっていれば出力は 0 になる。同じ値で 2 回 XOR をとると元の値に戻る性質があり、誤りの検出などにも使われる。
たとえ階段の上と下にあるスイッチで 1 つの電灯を操作する配線。どちらか一方を切り替えるたびに点灯と消灯が入れ替わる。
覚え方「排他的」は相手を締め出すという意味で、「一方だけ」を認め、両方そろうことを締め出す。
出題のポイント
- 出題XOR は少なくとも一方が 1 であり、かつ両方が 1 ではないときに 1 になるので、ほかの基本演算を組み合わせた式でも表せる。
- 出題ビットごとの XOR では、相手のビットが 1 の桁は 0 と 1 が反転し、0 の桁は元のデータの値が残る。
- 混同注意両方の入力が 1 のとき、OR の出力は 1、XOR の出力は 0 になり、差はこの 1 行だけである。
この用語の過去問 2 題 XOR →
要点
- 積集合はもとの集合に含まれ、もとの集合は和集合に含まれる。
- ベン図の各領域は、どの円の内側か外側かで決まり、外側は否定で表す。
- 真理値表は入力 n 個で 2 の n 乗行になり、出力が 1 になる行で演算を見分ける。
- ビットごとの演算では、AND は相手が 0 の桁を 0 にし、XOR は相手が 1 の桁を反転する。
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