本ユニットでは、ものの集まりを扱う「集合」と、それを視覚化する「ベン図」を起点に、論理の入出力を網羅する「真理値表」、そして AND・OR・NOT・XOR からなる「論理演算」を体系的に学びます。集合と論理は離散数学の柱であり、条件分岐やビット演算の基礎として試験でも頻出する重要分野です。
ある条件で定まる、はっきり区別できるものの集まり。
集合とは、「条件を満たすものの集まり」を一つのまとまりとして扱う考え方です。集合に含まれる一つひとつを要素といい、ある対象がその集合に属するか否かが明確に決まることが前提です。 基本的な操作に、両方に共通する部分を取る「積集合(AND に対応)」、いずれかに含まれる部分をまとめる「和集合(OR に対応)」、含まれないものを取る「補集合(NOT に対応)」があります。試験では、これらの集合演算が後の論理演算と対応する点や、ベン図での読み取りが問われます。集合の考え方は、データの絞り込みや検索条件の組み立ての土台にもなります。
たとえクラスの「メガネをかけている人」「部活に入っている人」のような名簿のグループ分け。条件で人をまとめ、両方に入る人・どちらかに入る人を考えるのと同じです。
記憶フック集合といえば条件で定まるものの集まり
集合の関係を円の重なりで視覚的に表す図。
ベン図は、複数の集合を円で表し、その重なりや位置関係で「共通部分」「合併部分」「含まれない部分」を一目で分かるようにした図です。円が重なった中央が積集合、二つの円全体が和集合、円の外側が補集合にあたります。 集合の演算と論理演算(AND/OR/NOT)を直観的に結びつける橋渡し役で、塗りつぶされた領域がどの演算に対応するかを読み取る問題が試験で頻出します。文章だけでは分かりにくい条件の重なりを図で確かめられる点が強みです。
たとえ二つの輪を一部重ねて床に置き、重なった部分に「どちらの輪にも入る人」が立つ遊びのようなもの。立つ場所で所属が一目で分かります。
記憶フックベン図といえば円の重なりで集合の関係を表す図
入力の全組合せに対する論理演算の結果を網羅した表。
真理値表は、論理演算の入力が取りうるすべての組合せ(真=1/偽=0)を並べ、それぞれに対する出力を一覧にした表です。入力が2つなら 00・01・10・11 の4通りすべてを書き出します。 個別の論理演算子(AND・OR・NOT など)の振る舞いは、この表で定義・確認できます。試験では、与えられた真理値表がどの演算かを判定したり、AND と OR の結果の違いを表で見分けたりする問題が出ます。演算子の意味を暗記に頼らず、表で確実に読み解けることが得点の鍵です。
たとえ自動販売機の「ボタンA・Bを押したか押さないか」の全パターンと、その時出る商品を一覧にした早見表のようなもの。あらゆる入力と結果が一目で分かります。
記憶フック真理値表といえば入力の全組合せと結果を網羅した表
真(1)・偽(0)の値を扱う AND・OR・NOT などの演算の総称。
論理演算は、真(1)と偽(0)の二値を入力とし、決められた規則で結果を求める演算の総称です。基本となるのは論理積(AND)・論理和(OR)・否定(NOT)で、これに排他的論理和(XOR)などが加わります。 各演算の意味は真理値表で定義され、集合演算(積・和・補)やベン図とも対応します。試験では、条件の組合せ判定やコンピュータ内部のビット演算の基礎として頻出します。AND は「すべて真で真」、OR は「一つでも真で真」、NOT は「真偽を反転」という基本の振る舞いを押さえることが重要です。
たとえ「傘を持ち、かつ長靴も履いていれば外出OK(AND)」「電車かバスのどちらかが動けば通勤可(OR)」のように、条件を組み合わせて可否を決める判断のしくみです。
記憶フック論理演算といえば真偽を扱う AND・OR・NOT の総称
入力がすべて真のときだけ真になる論理積の演算。
AND(論理積)は、入力がすべて真(1)のときだけ結果が真(1)になり、一つでも偽(0)があれば偽になる演算です。集合では「両方に共通する部分(積集合)」に対応します。 「条件Aかつ条件Bを満たす」という絞り込みに使われ、検索の絞り込み条件やビット演算で特定ビットを取り出すマスク処理などに登場します。試験では、OR との違い(AND は全部真で真、OR は一つ真で真)や真理値表での結果の見分けが頻出です。「かつ」と覚えるとよいでしょう。
たとえ二人の承認が両方そろわないと開かない金庫のようなもの。片方だけの賛成では開かず、二人がそろって初めて開きます。
記憶フックANDといえば「かつ」、すべて真で真の論理積
入力のいずれかが真なら真になる論理和の演算。
OR(論理和)は、入力のうち一つでも真(1)があれば結果が真(1)になり、すべて偽(0)のときだけ偽になる演算です。集合では「いずれかに含まれる部分(和集合)」に対応します。 「条件Aまたは条件Bを満たす」という広げる条件に使われます。試験では AND との対比が定番で、AND が「すべて真で真」なのに対し OR は「一つでも真で真」という違いを真理値表で判断できることが問われます。「または」と覚えるとよいでしょう。
たとえ非常口が二つある部屋のようなもの。どちらか一方が開いていれば外に出られ、両方ふさがっているときだけ出られません。
記憶フックORといえば「または」、一つでも真で真の論理和
入力の真偽を反転させる単項の否定演算。
NOT(否定)は、入力が真(1)なら偽(0)へ、偽なら真へと値を反転させる演算です。入力を一つだけ取る単項演算で、AND・OR(二つの入力を取る二項演算)とは入力の数が異なります。集合では「含まれないもの(補集合)」に対応します。 「〜でない」という条件の反転に使われ、ビット演算では全ビットを反転させます。試験では、二項演算である AND・OR との違い(NOT は入力が一つ)や、真理値表で値が反転している点を押さえることが問われます。「でない」と覚えるとよいでしょう。
たとえ照明のスイッチを切り替えるようなもの。点いていれば消え、消えていれば点く。今の状態を必ず逆にするはたらきです。
記憶フックNOTといえば「でない」、真偽を反転する否定
入力が異なるときだけ真になる排他的論理和の演算。
XOR(排他的論理和)は、二つの入力が異なるとき(片方だけが真のとき)に真(1)、同じとき(両方真または両方偽)に偽(0)になる演算です。「どちらか一方だけ」を表す点で、両方真でも真になる通常の OR と区別されます。 基本3演算(AND/OR/NOT)を前提とした応用的な演算で、同じ値で2回 XOR すると元に戻る性質から、簡易な暗号化やパリティ計算などに使われます。試験では、OR との違い(両方真のとき OR は真、XOR は偽)を真理値表で見分けられることが問われます。
たとえシーソーのようなもの。片方だけが下がっている(傾いている)とき成り立ち、両方が同じ高さ(同じ値)のときは成り立ちません。
記憶フックXORといえば「異なれば真」の排他的論理和
関連の過去問演習は今後のアップデートで追加予定です。