確率と場合の数
標準約 20 分3 用語過去問 14 題
この単元の目標
- 場合の数から 確率 を求め、互いに影響しない事象が重なる確率や期待値を計算できる。
- 条件のある並べ方や、同じものを繰り返し使える並べ方の数を数えられる。
- 順序を区別するかどうかで、順列 と 組合せ を使い分けられる。
用語総表（3 語）
用語
確率 は、ある事象 (起こる出来事) の起こりやすさを 0 以上 1 以下 の数で表したものである。
どの結果も同じ程度に起こるとき、確率は「その事象が起こる場合の数 ÷ 起こりうるすべての場合の数」で求める。互いに影響しない (独立 な) 2 つの事象が両方起こる確率は、それぞれの確率の積になる。起こりうる値にその確率を掛けて足し合わせた値を 期待値 と呼び、平均して見込まれる値を表す。
たとえ天気予報の降水確率 30% は、0.3 という確率を百分率で言い表したものにあたる。
覚え方「率」は割合の字。全体を分母に置いた割合として読む。
出題のポイント
- 出題互いに影響しない回を繰り返すとき、すべての回で条件を満たす確率は各回の確率の積になる。ある結果が一度も起こらない確率は、1 回でその結果が起こらない確率を回数分掛けて求める。
- 出題期待値は、起こりうる値それぞれに確率を掛けて合計した値である。ある結果が起こる回数の期待値は、試行回数 × その結果の確率になる。
- 混同注意期待値は確率そのものではなく、確率で重み付けした値の平均なので、0〜1 に収まるとは限らない。
この用語の過去問 3 題 確率 →
順列 は、異なるいくつかのものから選び、順序をつけて並べる 並べ方の総数である。
n 個から r 個を選んで並べる順列の数は nPr と書き、n × (n−1) × … と 1 ずつ減る数を r 個掛けて求める。n 個すべてを並べる数は n × (n−1) × … × 1 で、これを n の 階乗 (n!) と呼ぶ。同じものを何度でも使える並べ方は 重複順列 と呼び、1 か所に m 通りの候補があって k か所並べるなら m^k 通りになる。
たとえ表彰台の 1 位・2 位・3 位を決めるようなもの。同じ 3 人でも順位が入れ替われば別の結果になる。
覚え方「列」は並んだ列の字。列にすれば前と後ろができる。
出題のポイント
- 出題並べ方に条件があるときは、条件のある位置やまとまりを先に数え、残りの並べ方を掛ける。隣り合う 2 つは 1 まとまりとして並べ、まとまり内の並び 2 通りを掛ける。
- 出題重複順列では各位置の候補数が減らないので、m 通りの候補を k か所に置く数は m を k 回掛けた m^k 通りになる。
- 混同注意nPr は 1 ずつ減る数を r 個掛け、重複順列 m^k は同じ m を k 回掛ける点で計算が異なる。
この用語の過去問 3 題 順列 →
組合せ は、異なるいくつかのものから 順序を区別せずに選ぶ 選び方の総数である。
n 個から r 個を選ぶ組合せの数は nCr と書き、順列の数 nPr を、選んだ r 個の並べ方 r! で割って求める。r 個を選ぶことは残す n − r 個を選ぶことと同じなので、nCr = nC(n−r) が成り立つ。
たとえ鍋の具材を 3 種類選ぶようなもの。入れた順番が違っても、選んだ具材が同じなら同じ鍋になる。
覚え方「組」はチームの組の字。組の中に順番はない。
出題のポイント
- 出題2 者を結ぶ 1 組は 2 個を選ぶ組合せ 1 つに当たり、n 個から 2 個を選ぶ組の数は n × (n−1) ÷ 2 で求める。
- 出題2 個を選ぶ組の数は、n 個が n + 1 個に増えると n 個増えるので、n が大きいほど増え方も大きい。
- 混同注意選んだ後に役割や順番を割り当てるなら順列、顔ぶれだけが問題なら組合せで数える。
この用語の過去問 3 題 組合せ →
要点
- どの結果も同じ程度に起こるとき、確率 は該当する場合の数を全体の場合の数で割って求め、値は 0 以上 1 以下になる。
- 互いに影響しない事象が両方起こる確率は各確率の積で、期待値 は値と確率の積を足し合わせて求める。
- 条件のある並べ方は条件のある部分から数えて掛け合わせ、同じものを繰り返し使えるなら m^k 通りになる。
- n 個から 2 個を選ぶ組の数は n × (n−1) ÷ 2 で、n が大きいほど増え方が大きい。
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