本ユニットでは、応用数学の中心テーマである確率と、その計算の土台となる『場合の数』の数え方を学びます。並べ方を数える順列、選び方を数える組合せを使い分け、確率を求められるようになることが目標です。組合せは本 topic で最も出題頻度が高く、確率計算の必須知識として頻出の分野です。
ある事象の起こりやすさを0以上1以下の数値で表したもの。
確率は、ある出来事がどれくらい起こりやすいかを数値で表したものです。すべての結果が同じ程度に起こるとき、確率は『その事象が起こる場合の数 ÷ 起こりうる全ての場合の数』で計算します。値は必ず0から1の範囲に収まり、0は決して起こらない、1は必ず起こることを意味します。 例えばサイコロで偶数(2・4・6)が出る確率は、3 ÷ 6 = 0.5(2分の1)です。試験では、この『分子=該当する場合の数』『分母=全体の場合の数』を正しく数えられるかが問われます。だからこそ次に学ぶ順列・組合せが重要になります。
たとえくじ引きで当たりやすさを表すようなもの。10本中2本が当たりなら、当たる確率は2÷10で5分の1。全体に対する『割合』として起こりやすさを数値化します。
記憶フック確率といえば該当する場合の数÷全体の場合の数
異なるものから幾つか取り出し、順序を区別して並べる場合の数。
順列は、いくつかのものを取り出して『並べる』ときの場合の数で、並べる順序の違いを別物として数えます。n個から r個を取り出して並べる順列の総数は、n × (n−1) × … と r個分かけ合わせて求めます。 例えばA・B・Cの3人から2人を選んで1列に並べると、AB・BA・AC・CA・BC・CBの6通りです。ABとBAは順序が違うので別々に数える点がポイントです。試験では、次に学ぶ組合せ(順序を区別しない)との違いがよく問われます。『並べる・順番がある』なら順列と判断します。
たとえリレーの走順を決めるようなもの。同じ3人でも『誰が1走・2走・3走か』の順番が変われば別のチーム編成。並ぶ順番そのものに意味があります。
記憶フック順列といえば順序を区別して並べる数え方
異なるものから幾つか取り出すだけで、順序を区別しない選び方の数。
組合せは、いくつかのものを取り出して『選ぶ』ときの場合の数で、選んだ順序の違いは区別せず同じものとして数えます。同じメンバーの集まりは、並び順が違っても1通りと数えるのが特徴です。 例えばA・B・Cの3人から2人を選ぶと、{A,B}{A,C}{B,C}の3通りです。順列ではABとBAを別に数えましたが、組合せでは同じ選び方なので1つにまとめます。そのため同じ条件なら組合せの数は順列より少なくなります。試験では『順番は関係なく選ぶだけ』なら組合せ、と見抜けることが重要で、本 topic で最頻出の概念です。
たとえ委員を2人選ぶようなもの。AさんとBさんを選んだ結果は、どちらを先に指名しても同じ顔ぶれ。順番に意味がなく『誰が選ばれたか』だけが問題になります。
記憶フック組合せといえば順序を区別しない選び方の数え方
関連の過去問演習は今後のアップデートで追加予定です。