線形代数・微積分と誤差

線形代数 は、ベクトル や 行列 を使って、一次式で結び付いた多数の量をまとめて扱う数学の分野である。

一次式とは、例えば y = 2x + 3 のように、変数に定数を掛けた項と定数だけを足し合わせた式を指す。連立一次方程式をまとめて解く計算や、画像の回転・拡大のように多数の座標を一度に変換する計算は、線形代数の考え方で表せる。大量の数値を表の形で処理するコンピュータグラフィックスや機械学習の土台にもなっている。

たとえ部品（数の組や表）と組み立て方（掛け算と足し算）が決まった工作セットのようなもので、同じ手順で大量の数をまとめて加工できる。

覚え方「線形」は英語 linear の訳で、一次式のグラフが真っすぐな線になることに由来する。

ベクトル は、大きさ と 向き をあわせ持つ量で、数を一本の並びにした組として表せる。

例えば平面上で「右へ 4、上へ 3」進む移動は (4, 3) というベクトルで表され、矢印の長さ 5 が大きさ、矢印の指す方向が向きに当たる。大きさだけを持つ量は スカラー と呼ばれ、温度や質量がその例である。

たとえ道案内の「駅から北東へ 300 m」は距離と方角の両方を伝えるので、矢印 1 本で描ける。

覚え方vector の語源はラテン語の「運ぶもの」で、点をある場所から別の場所へ運ぶ矢印と結び付けると思い出しやすい。

行列 は、数を横の並び（行）と縦の並び（列）からなる長方形に並べたものである。

m 個の行と n 個の列を持つ行列は m 行 n 列の行列と呼ばれ、m × n 個の数（成分）を含む。1 行だけ、または 1 列だけの行列はベクトルとみなせるので、行列はベクトルを並べたものとも言える。連立一次方程式の係数をまとめて書いたり、座標の変換を一度に計算したりするのに使われる。

たとえ映画館の座席表のように、何行目・何列目かで場所が決まり、その場所ごとに数が 1 つずつ入っている。

覚え方「行」の字は横線が、「列」の字は右側の縦線が目立つので、行は横、列は縦と字の形で思い出せる。

微分 はある点での変化の割合（グラフの傾き）を求める操作、積分 は細かく分けた量を積み重ねて全体の量（面積など）を求める操作である。

例えば、時刻ごとの位置を微分すると各瞬間の速さが得られ、速さを時間で積分すると進んだ距離が得られる。変化する量を扱うこの数学の分野は 解析 と呼ばれる。

たとえ蛇口から出る水の勢いが微分に当たる量で、それが積み重なってバケツにたまった水の量が積分に当たる量である。

覚え方「微」はごく小さいこと、「積」は積み上げることを表す字で、ごく小さな変化に目を向けるのが微分、積み上げて合計するのが積分と字から思い出せる。

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誤差 は、測定や計算で得た値と 真の値 との差（ずれ）である。

測定器の目盛りの細かさや、コンピュータが数を有限の桁でしか表せないことが原因となり、誤差は多くの場合ゼロにできない。コンピュータの計算では、例えば、決めた桁数に収めるために端数を処理するときに生じる 丸め誤差 や、絶対値が大きく異なる数どうしを足し引きしたときに小さい側の値が結果に反映されない 情報落ち が起こる。

たとえメジャーで机の幅を測ると、目盛りと目盛りの間は目で読み取るしかないので、どれだけ丁寧に測っても本当の幅とのわずかな差が残る。

覚え方英語の error はラテン語の errare（さまよう）に由来し、真の値の周りをさまようように散らばる測定値を思い浮かべると覚えやすい。

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